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PS 수학

1부터 N까지의 합에 1부터 N까지의 합 붙이기... ×

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이게 무슨 의미냐면, 먼저 1부터 N까지의 합부터 생각해보자.

 

i=1ni는 간단하게 n(n+1)2로 쓸 수 있다. 그러면 이 값에 다시 시그마를 붙이면? i=1ni(i+1)2이 된다. 이 값은 무엇일까? 일단은 그냥 식 정리를 해보자.

 

12i=1n(i2+i)로 바꿔 쓸 수 있고,  i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6이므로 12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)가 된다.

n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2를 잘 정리해보자.

 

n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2=n(n+1)(2n+1)6+3n(n+1)6=n(n+1)(2n+1)+3)6=n(n+1)(2n+4)6=n(n+1)(n+2)3가 된다. 이제 원래의 식에 적용해서12i=1n(i2+i)= n(n+1)(n+2)6가 되는 것을 확인할 수 있다.

 

다음 식은 예상하겠지만 i=1ni(i+1)(i+2)6이 되겠다. 당연히 이 식을 구하기에는 너무 많은 식 정리가 필요하다. 여기서 하키스틱 항등식을 사용한다면 그 다음 시그마, 그 다음다음 시그마도 잘 구할 수 있다. 먼저 이 하키스틱 항등식은 다음과 같다.

 

j=rm(jr)=(m+1r+1)

 

앞서 만들었던 식 n(n+1)2(n+12)로도 쓸 수 있다. i=1n(i+12)는 저 위의 식에서 r=2, j=i+1라고 보면 i=1n(i+12)=j=2n+1(j2)=(n+23)이 된다. n(n+1)(n+2)6(n+23)이므로, 등식이 성립된다!

 

아까 식 정리를 어렵게 해야했던 i=1ni(i+1)(i+2)6는 이제 (n+34)라는 것을 쉽게 알 수 있다.

 

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